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Eine sehr große Zahl.

13. Februar 2012

Die erste Geschichte handelt von einer sehr großen Zahl.

Siehe auch http://agriserve.de/Weltspiel-Geschichte-1.html, dort gibt es auch Bilder.

Die meisten Geschichten im Weltspiel beginnen mit einer zu lösenden Aufgabe. Auf dem Wege zur Lösung erfahren wir viele Dinge über unsere Welt.

Unsere erste  Geschichte ist sieht so aus:
Der Mitspieler  hat eine Maschine, bei  der ein bewegliches Teil  zuerst zu einem bestimmten Ort hinfährt, dort eine gewisse Arbeit ausführt und dann wieder an den Ausgangspunkt zurückfährt und das mehrfach und in verschiedenen Abwandlungen.  Die Maschine hat mehrere Elektromotore, die unterschiedliche  Maschinenteile zu unterschiedlichen  Orten hinführen. Das jeweilige Maschinenteil wird von einem Elektromotor bewegt und wenn ein gewisser Ort erreicht ist, dann berührt das Maschinenteil einen Elektroschalter und dieser wird dadurch bewegt und geschaltet.

Dieser, vom genauen Ortstandort des Maschinenteils abhängige Schalter wirkt seinerseits auf eine kleine Steuerungseinrichtung. Diese Steuerungseinrichtung wirkt wiederum mit sich selbst und anderen kleinen Steuerungseinrichtungen zusammen. Die Steuerungseinrichtungen insgesamt bedienen wiederum die Elektromotore der Anlage.

In der Maschine gibt es insgesamt 15 solcher kleinen Steuerungseinheiten und jede  davon hat 14 Elektroanschlüsse. Die Doppelfrage lautet nun: Wieviel Elektroanschlüsse haben die 15 Steuerungseinheiten  insgesamt und wieviel unterschiedliche Möglichkeiten gibt es, diese Elektroanschlüsse zu verbinden unter der Annahme, daß  alle Anschlüsse (außer dem ersten und dem letzten) mit Hilfe von Elektroadern mit  genau zwei anderen Anschlüssen verbunden sind.

Die Lösung:
Es sind ingesamt 15 Steuerungseinheiten mal 14 Anschlüsse je Steuerungseinehit ergibt 210 Anschlüsse. Auf wieviel Arten können diese Anschlüsse unter der gemachten Annahme miteinander verbunden werden? Diese Teilaufgabe ist auch recht einfach  zu lösen.

Als Hilfsmittel zur Lösung dient auch in diesem Falle auch die Rechenkunst (Mathematik). Hier ist es der mathematische  Beweis, der uns die Lösung bringt. Und der geht so:

Nehmen wir zunächst einmal an, es wären nicht 210 Anschlüsse, sondern nur 4 Anschlüsse. Bei dieser niedrigen Anschlußzahl kann man die unterschiedlichen Möglichkeiten sehr gut überblicken.

Wie sieht es bei 4 Anschlüssen aus?

Jetzt gehen wir so vor:  Wir ordnen jedem einzelnen Elektroanschluß eine Zahl zu. Dem Anschluß eins die 1, dem Anschluß zwei die 2, dem Anschluß drei die 3,  dem Anschluß vier die 4.

Die einfachste Anschlußreihenfolge ist zweifellos die 1-2-3-4. Es muß jedoch auch noch mehr und andere geben. Um alle denkbaren Möglichkeiten zu erfassen, brauchen wir ein Suchverfahren, eine gewisse Regel, nach der wir die anderen Möglichkeiten der Reihe nach geordnet eine nach der anderen herausfinden.

Jetzt kommt der nächste Trick ins Spiel. Wir betrachten die vier Einzelzahlen (1,2,3,4) als die vier Bestandteile einer vierstelligen Zahl. Und dazu kommt die passende Aufgabe:  Stelle alle vierstelligen Zahlen auf,  welche die  1,2,3,4 genau einmal enthalten und ordne sie von der kleinsten zur größten!  Wie von selbst stellt sich dazu die nächste sehr gut passsende Hilfsregel auf: Von zwei vierstelligen Zahlen ist diejenige kleiner, die weiter vorne links kleiner ist.

Beginnen wir mit allen vierstelligen Zahlen, welche vorn die 1 haben.
1-2-3-4, das war unser Anfang, unsere allererste  und auch naheliegende Wahl.  Danach 1-2-4-3, das ergibt sich fast von selbst. Damit sind alle ausgeschöpft, die 1 und 2 vorne haben.
Jetzt kommen 1 und 3 vorne, das sind die nächstkleineren Zahlen.  1-3-2-4 und danach 1-3-4-2.
Jetzt kommen 1 und 4 vorne, das sind die nächstkleineren Zahlen.  1-4-2-3 und danach 1-4-3-2.
Damit sind alle Zahlen verbraucht, die vorne eine 1 haben. Es sind 6 Stück.

Jetzt folgt das gleiche  Spiel mit allen Zahlen, die vorne eine 2 haben. Hier folgen die Zahlen:
2-1-3-4
2-1-4-2
2-3-1-4
2-3-4-1
2-4-1-3
2-4-3-1

Weiter geht das gleiche  Spiel mit allen Zahlen, die vorne eine 3 haben. Hier folgen die Zahlen:
3-1-2-4
3-1-4-2
3-2-1-4
3-2-4-1
3-4-1-2
3-3-2-1

Zum Abschluß kommen die Zahlen, die  vorne eine 4 haben. Hier folgen die Zahlen:
4-1-2-3
4-1-3-2
4-2-1-3
4-2-3-1
4-3-1-2
4-3-2-1

Damit sind alle möglichen Zahlen erfaßt.  Jetzt zählen wir durch,  wie viele Zahlen es sind. Sechs mit der 1 vorne, sechs mit der 2 vorne, sechs mit der 3 vorne und sechs mit der 4 vorne. Das sind insgesamt 24 Zahlen und somit 24 Möglichkeiten, die Anschlüsse miteinander zu verbinden. Jetzt wissen wir: bei 4 Anschlüssen gibt es 24 Möglichkeiten, um diese  (unter  den gemachten Vorausbedingungen ) miteinander zu verbinden. Aber wieviel Möglichkeiten gibt, 210 Anschlüsse miteinander zu verbinden? Damit  wir das berechnen können, müssen wir sozusagen einen Schritt zurückgehen. Wir fragen jetzt : Wieviel Möglichkeiten gibt es, um drei Anschlüsse miteinander zu verbinden?

Wie sieht es bei 3 Anschlüssen aus?
Die gedankliche Vorgehensweise ist genau dieselbe wie bei 4 Anschlüssen, nur mit kleineren Zahlen.
Hier kommt die Liste der Zahlen:
1-2-3
1-3-2
2-1-3
2-3-1
3-1-2
3-2-1

Das sind insgesamt 6 Möglichkeiten  der Verbindung.
Jetzt kommt der nächste Trick: Wir kennen die Anzahl der Möglichkeiten bei drei Anschlüssen und bei vier Anschlüssen.
Denn wir haben eine Regel aufgestellt, wie man die Anzahl der Möglichkeiten bei einer im Grundsatz beliebigen  Anzahl von Anschlüssen herausfinden kann.

Dr nächste Trick: Wir stellen uns dumm.
Der nächste Trick ist folgender: wir stellen uns dumm und fragen: Wie kann man die Anzahl der Möglichkeiten beivier Anschlüssen herausfinden, wenn die Anzahl der Möglihckeiten bei drei Anschlüssen bereits bekannt ist?

Die Lösung dieser neuen Teilaufgabe ist einfach:
Bei drei Ziffern sind es sechs dreistellige Zahlen, wie oben gezeigt. Jede dieser dreistelligen aus den Ziffern 1 bis 3 bestehenden Zahlen  wird nun zur Mutter von neuen vierstelligen Zahlen, welche ebenfalls die Ziffern 1 bis 3 enthalten und zusätzlich die Ziffer 4. Nun ist offensichtlich so, daß die 4 vor der ersten  Stelle der bisherigen dreistelligen Zahl stehen kann oder vor der zweiten  Stelle der bisherigen dreistelligen Zahl stehen kann oder vor der dritten  Stelle der bisherigen dreistelligen Zahl stehen kann oder nach der dritten Stelle der bisherigen dreistelligen Zahl stehen kann.

Aus jeder dreistelligen Zahl entwickeln sich viermal so viele vierstellige Zahlen.
Und wenn man die Entwicklung fortführt, dann entwickelt sich aus jeder vierstelligen Zahl fünfmal so viel 5-stellige Zahlen und so fort.

Das Bildungsgesetz der Möglichkeiten.
Hier drängt sich nun eine Regel auf, die wir als Bildungsgesetz für die Anzahl der Möglichkeiten bezeichnen können: Wenn die Zahl der Anschlüsse den Zahlenwert  „n“ hat (zum Beispiel 4), dann ist die Zahl der Möglichkeiten um den Malnehmer „n“ größer, als wenn die Zahl der Anschlüsse „(n-1) (zum Beispiel 3) beträgt. Das gilt für alle vollzahligen „n“ größer als 1, also beginnend mit „n=2“

Für „n=2“ rechnen wir das aus: 1-2 und 2-1, das sind zwei Möglichkeiten
Zahl der Möglichkeiten = 2 mal 1 = 2 Möglichkeiten, das paßt.

Für „n=3“ rechnen wir das aus: 1-2-3-, 1-3-2,  2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1, das sind sechs  Möglichkeiten.
Zahl der Möglichkeiten = 3 mal (2 mal 1)= 6 Möglichkeiten, das paßt.

Für „n=4“ könnten wir das ausrechnen, siehe oben, das machen wir aber nicht, sondern wir entwickeln das aus „n=3“, es ist nämlich 4mal so viel, wie ebenfalls etwas weiter oben gezeigt.  Zahl der Möglichkeiten 4 mal (3mal2 mal 1) =24.

Aus genau derselben  Überlegung heraus geht es bei „n=5“ so weiter: Zahl der Möglichkeiten: 5mal(4mal3mal2mal1)=120 Möglichkeiten. Dieser Rechengang wird in mathematischer Schreibweise so geschrieben: „5!“ und gesprochen wird das „Fünf-Fakultät“ und in den Grundrechenarten so ausgedrückt  5*4*3*2*1=120.

Und das geht immer so weiter. Bei 210 Anschlüssen sind es (210mal209 mal208mal…mal 3mal2mal1) Möglichkeiten.

Wie groß ist die Zahl 120-Fakultät?
Das ist eine sehr große Zahl.

Zum Vergleich

Zitat aus http://www.harri-deutsch.de/verlag/hades/clp/kap09/cd236b.htm

Unsere Milchstraße hat etwa eine Masse von 100 Milliarden Sonnen oder 2,7·10hoch41 kg. Damit kommen wir auf etwa 10hoch68 Atome. Schließlich sind uns viele Milliarden Galaxien im Universum bekannt. Dies sagt uns, daß die Anzahl der Atome im Universum etwa in der Größenordnung 10hoch78 ist.

Berechnung der 210-Fakultät siehe bei http://primzahlen.zeta24.com/de/online_n_fakultaet.php , dort kann man die Zahl 210 eingeben. Man kann spaßeshalber auch einmal die Aufgabe „1000!“ =“Tausend-Fakultät“ eingeben, dann sieht man, wie schnell die Rechner arbeiten, im Augenblick ist das Ergebnis da.

Aus diesen Angaben ergibt sich Folgendes:
Die Zahl aller Atome im gesamten Weltall ist eine Zahl mit ungefähr 80 Stellen, die Zahl der Verbindungsmöglichkeiten in unserer kleinen Steuerung ist eine Zahl mit 399 Stellen, also um ein unvorstellbares Maß größer.

Hier mache ich eine Unterbrechung der Geschichte 1, später geht es weiter.

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One Comment
  1. Zur Vorgehensweise:


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    Hinweis zu obiger Anleitung. Die Gänesefüßchen mit eingeben, die waagrechten Trennstriche weglassen. Der Schrägstrich ist auf der „Taste mit der Zahl 7“ zu finden.

    Muster:
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